Zu a)
Die Füllhöhe der Flüssigkeit ist h1 = 15 cm - 1 cm = 14 cm.
Aus dem Längsschnitt des Glases wird ein Strahlensatz erkennbar:
Der Radius r1 in 14 cm Höhe ist nach Strahlensatz:
r / h = r1 / h1 ¦ * h1 (nach r1 aufgelöst)
r1 = (r * h1) / h = (3 cm * 14 cm) / 15 cm = 2,8 cm
Das Volumen ist V = (1/3) * pi * (r1)² * h1
V = (1/3) * (2,8 cm)² * 14 cm = 115 cm³ (bzw. 0,115 l)
Zu b)
Aus dem Längsschnitt des Glases wird ein Strahlensatz erkennbar:
h2 sei die Füllhöhe der Flüssigkeit,
r2 sei der Radius des Flüssigkeitsspiegels im Glas.
Strahlensatz: h/r = h2/r2
aufgelöst nach r2:
r/h = r2/h2 ¦ * h2
r2 = (r*h2)/h
Das Volumen Vol = 100 cm³ läßt sich nach der Formel ausdrücken:
Vol = (1/3) * pi * (r2)² * h2 = 100 cm³
Wir haben 2 Gleichungen mit je 2 Unbekannten. Wir ersetzen in der zweiten
Gleichung r2 durch das Ergebnis der ersten Gleichung, was ja r2 ist:
Vol = (1/3) * pi * ((r*h2)/h)² * h2
Jetzt setzen wir Zahlen ein:
100 = (1/3) * 3,14 * ((3 * h2)/15)² * h2
100 = 1,047 * (0,2 * h2)² * h2
100 = 1,047 * 0,04 * (h2)² * h2
100 = 1,047 * 0,04 * (h2)³
Jetzt lösen wir nach h2 auf:
100 = 0,04188 * (h2)³ ¦ /0,04188
2388 = (h2)³
Wir ziehen die dritte Wurzel
h2 = 13,4
Die Füllhöhe für 100 ml ist 13,4 cm.
Falls nach der Füllhöhe gefragt ist,
wenn man das Glas halb voll macht, funktioniert dies ebenso.
Man rechnete zuerst das Volumen des Glases aus, nimmt davon die Hälfte,
und rechnet dann wie beschrieben.