1a 41,89/47,60 = 0,88

36,86/41,89 = 0,88

Wenn man den Wert des nächsten Monats durch den des vorigen Monats

teilt ( B(n+1) / B(n) ) erhält man immer dieselbe Prozentzahl

(der Wachstumsfaktor ist konstant, hier immer 0,88)

1b B0 = 535,00 B3 = 268,80 t = 3 a gesucht

268,80 = 535,00 mal a hoch 3

a = 0,8

Halbwertszeit heißt, die Hälfte ist noch da Bt = 535,000/2 = 267,5

267,5 = 535 mal 0,8 hoch t

t = 3,1 Tage

B0 mal a1 hoch t1 = B0 mal a2 hoch t2

47,60 mal 0,88 hoch t1 = 535,00 mal 0,8 hoch t2

t1 und t2 sind gleich, jedoch ist t1 in Monaten und t2 in Tagen, also 30mal t2 = t1

Der Zeitpunkt t=0 ist bei beiden gleich (sonst müsste man t2 = t1 + soundsoviel Tage)

47,60 mal 0,88 hoch t = 535 mal 0,8 hoch 30t

log 47,60 + t mal log 0,88 = log 535 + 30 mal t mal log0,8

t mal ( log 0,88 - 30 mal log 0,8) = (log 535 - log 47,6)

t = (....) / (...) = 0,368 Monate

1c Nehmen wir an B0 = 1 g, dann ist nach 2 Minuten (Halbwertszeit) noch die Hälfte, also Bt=0,5 g

da. t = 2 Minuten

0,5g = 1g mal a hoch 2

a = 0,71

Jetzt soll Bt = 1 g mal 1 Prozent = 1 g mal 0,01 = 0,01 g sein.

0,01 = 1 mal 0,71 hoch t

log 0,01 = t mal log 0,71

t = 13,44 b Antwort (wichtig!!!!!) Nach 14 Tagen.

(nach 13 Tagen ist es ja noch nicht so weit, also hier immer aufrunden)

2) 5000 + 8 mal 5000 mal 0,055 = 7200

Bt = 5000 mal 1,055 hoch 8 = 7673

Bt = 10000 (verdoppelt), t =8 , B0 = 5000, a gesucht

10000 = 5000 mal a hoch 8

8. Wurzel ( 10000/5000) = 1,09 also 9 % Zins

B0 = 5000, Bn = 50% mehr davon = 5000 mal 1,50 = 7500

7500 = 5000 mal 1,055 hoch t

t = log 1,5 / log1,055 = 7,57 also nach 8 Jahren (wichtig: hier aufrunden, nach 7 Jahren ist es

noch nicht so weit)

3) B0 = 1000, a= 1,03, t = 30

Bt = 1000 mal 1,03 hoch 30 = 2427,26

Prozentsatz: 2427 / 1000 = 2,47 = 147 % mehr (hier kürzt sich dann der erfundene Betrag

wieder aus der Rechnung raus, so dass die Rechnung für egal jeden Betrag gilt)

4) B0 = 2000000, t = 10 Jahre , B10 = 2000000mal 1,2 = 2400000

2400000 = 1000000 mal a hoch 10

10. Wurzel 2,4 = 1,09 also 9 %

5) Tabelle t= Aufprall a=0,85

1 1,50 m

2 1,50m mal 0,85 dann ist die Anfangshöhe B0 1,50/0,85= 1,76

Bt = 0,40

0,40 = 1,76 mal 0,85 hoch t

t = 9,1 Nach dem 10, Aufprall

B1 = 1m , B3 = 0,5 m

1 m = B0 mal a hoch 1 daraus folgt a = 1m / B0 oder B0 = 1/a

0,5 m = B0 mal a hoch 3

.

0,5 m = (1/a) mal a hoch 3 mit Hauptnenner a multiplizieren

0,5 a = a hoch 3 minus 0,5 a

(a hoch 3) - 0,5a = 0 a ausklammern

a (a hoch 2 - 0,5) = 0 1. Lösung a=0 keine Lösung

a hoch 2 - 0,5 = 0 pq - Formel

a = 0,71

B0 = 1/a = 1 m / 0,71 =1,41 m

B5 = 1,41 m mal 0,71 hoch 5 = 0,24 m

6) B0 = 1000

a = 1,3

t = 5

B5 = 1000 mal 1,3 hoch 5 = 3713 Fische

ein Jahr später vermehren sie sich wieder um 30 %, also sind es 3713 mal 1,3 = 4827

es können also jährlich 4827-3713 = 1114 Fische abgefangen werden, so dass der Bestand gleich

bleibt.

7) k = 0,04 a=0,96 deltadings = 1m B0 = 0 t in Jahren

beschränkte Zunahme

Tabelle

Jahr Höhe

0 0 Zwischenschritt mal 0,96 = 0 plus 1m =

1 1 Zwischenschrittt mal 0,96 = 0,96 plus 1 =

2 1,96 Zwischenschritt mal 0,96 = 1,88 plus 1 =

3 2,88 Zwischenschritt mal 0,96 = 2,76 plus 1 =

4 3,76 und so weiter

MERKE: ERST WIRD MULTIPLIZIERT MIT A; DANN ADDIERT MIT DELTA

Bn =( B(n-1) mal 0,96 und dann das ganze plus 1

Bn ist der letzte Wert

B(n-1) ist nur die Bezeichnung für den vorhergehenden Wert

Bn = (B(n-1) mal 0,96) + 1 oder gleichbedeutend mit:

REKURSIVE FORMEL

Bn = B(n-1) + 0,04 mal (S - B(n-1))

wobei:

S = deltadings durch k = 1 m / 0,04 = 25 m

Bn = B(n-1) + 0,04 mal (deltadings/0,04 - B(n-1)

Wenn der Baum 25 m hoch ist, wird der Meter, den er im nächsten Jahr wachsen würde, von

den 4 % vollständig aufgebraucht. Oder anders: Es gibt eine Grenze des Wachstums, nämlich

sobald der Meter, der dazukommt gerade von den 4 %, die weggehen, aufgebraucht wird.

1 m = S mal 0,04

SUMMENFORMEL

Bn = S -( (S - B0) mal a hoch t)

B10 = 25 - (25 - 0) mal 0,96 hoch 10 = 8,38

Nach 10 Jahren ist er B10 = 8,38 m hoch

8). t in min , B0 = 20 Grad , k = 0,05 , a= 0,95, deltadings = 3 Grad

beschränkte Zunahme

S = deltadings/k = 3/0,05 = 60

B15 = S - ((S - B0) mal a hoch t) = 60 - ((60 - 20) mal 0,95 hoch 15) = 41,5

Nach 15 Minuten ist der Ofen B15 = 41,5 Grad warm.

9) t in Tagen, k = 0,05, a = 0,95, deltadings = 40, B0 = 1000

beschränkte Abnahme

S = deltadings/k = 40/0,05 = 800

B12 = 800 - (800 - 1000) mal 0,95 hoch 12 = 908

Nach 12 Tagen sind noch 908 l im Becken.

900 = 800 - (800 - 1000) mal 0,95 hoch t <<< - 800

100 = (-200) mal 0,95 hoch t <<< durch 200

0,5 = 0,95 hoch t <<< log

t = log0,5 / log0,95 = 13,5

Nach 14 Tagen sind noch 900 l im Becken.

10) Logistisches Wachstum Bn = B(n-1) + k mal B(n-1) mal (S-B(n-1))

a) Hilfsmittel Tabelle:

B(n-1): Jahr 0 200 Fische S=8000

Bn: Jahr 1 260 Fische ("30% mehr") k ist gesucht

260 = 200 + k mal 200 mal (8000-200) <<< -200

60 = k mal 200 mal 7800 <<< :200 <<<:7800

k = 0,000 038 5

Nun läßt sich mit der Formel der Bestand B(2) und B(3) nacheinander

berechnen.

B(2) = 260 + 0,000 038 5 mal 260 mal (8000-260) = 260 + 77 = 337

B(3) = 337 + 0,000 038 5 mal 337 mal (8000-337) = 337 + 99 = 436

b) 1000 = B(n-1) + 0,000 038 5 mal B(n-1) mal (8000 - B(n-1))

Nimmt man B(n-1) Fische heraus, hat man gerade wieder die Ausgangs-

situation von Vorjahr. Dies ist zu berechnen. Nach B(n-1) ist aufzulösen:

<<<-1000, ausmultipl.

0 = -1000 + B(n-1) + 0,000 038 5 msl B(n-1) mal 8000 - 0,000 038 5 mal B(n-1) mal B(n-1)

<<< quadr. Gleichung

0 = - 0,000 038 5 mal (Bn-1) hoch 2 + 1,308 mal Bn-1 - 1000 <<< :(-0,000 038 5)

0 = (Bn-1) hoch 2 - 0,000 050 3 mal Bn-1 - 1000

Man kann 31 oder 32 Fische jährlich abfangen.

Zum Auflösen der Formel für log. Wachstum nach S wurde hier keine Aufgabe gestellt.