1a.) Von einem radioaktiven Präparat liegen folgende Messwerte vor:

Zeit vorhandene Menge

01. März 2003 47,60 mg

01. April 2003 41,89 mg

01. Mai 2003 36,86 mg

Zeige/beweise, dass exponentielle Abnahme vorliegt.

(Anmerkung zu ZK-Aufgaben: Es kann vorkommen, dass man die Messwerte (2 Werte) aus einem Diagramm entnehmen muss (2 Punkte))

1b) Von einem anderen radioaktiven Präparat liegen diese Messwerte vor:

Zeit

01. März 2003 525,00 mg

02. März 2003 keine Messung

03. März 2003 keine Messung

04. März 2003 268,80 mg

Berechne a.

Berechne die Halbwertszeit.

Zu welchem Datum sind von beiden Produkten gleich viel vorhanden.

1c) Ein drittes radioaktives Produkt hat eine Halbwertszeit von 2 Minuten. Nach welcher Zeit ist nur noch 1 % der Anfangsmenge vorhanden.

2.) Karin bekommt zum 10. Geburtstag von ihrem Großvater 5 000 EUR. Sie legt das Geld zu einem Zinssatz zu 5,5 % an, denn sie möchte sich davon zu ihrem 18. Geburtstag ein Auto kaufen.

a) Wie teuer darf das Auto höchstens sein, wenn die Zinsen nicht mitverzinst werden (lineares Wachstum).

b) Wie teuer darf das Auto höchstens sein, wenn die Zinsen mitverzinst werden (Zinseszins)?

c) Nach wieviel Jahren hat sie 50 % mehr Geld auf ihrem Konto? (5,5 % Verzinsung mit Zinseszins)

d) Zu welchem Zinssatz müsste Karin das Geld anlegen (Zinseszins), wenn sich das Geld auf ihrem Konto zum 18. Geburtstag verdoppelt haben soll?

3.) Eine Waschmaschine ist seit 1970 jährlich um 3 % teuerer geworden. Um wieviel Prozent hat sie sich also zwischen 1970 und 2000 verteuert?

(Hilfe: erfinde einfach einen Anfangswert, zum Beispiel 1000 DM)

4.) Eine Firma wächst nach der Formel f(x) = a mal x hoch r.

(r steht für die Anzahl der Jahre, x ist Wachstumskonstante)

Der Wert der Firma betrug im Jahre 1960 2 Millionen DM. Im Jahre 1970 war die Firma um 20 % gewachsen. Um wieviel % wächst die Firma jährlich?

5.) Ein Gummiball fällt senkrecht auf harten Boden. Nach dem 1 . Aufprall springt er 150 cm hoch. Bei jedem weiteren Aufprall verliert er 15 % der zuletzt erreichten Höhe.

a) Nach dem wievielten Aufprall ist seine Sprunghöhe erstmals kleiner als 40 cm?

b) Ein anderer Gummiball springt nach dem ersten Aufprall 1m hoch, mach dem dritten Aufprall

erreicht er noch eine Höhe von 50 cm. Welche Höhe erreicht er nach dem 5. Aufprall?

6.) In einen Teich werden 1000 Fische eingesetzt. Sie vermehren sich jährlich um 30 %. In den ersten 5 Jahren werden keine Fische gefangen, um einen ausreichend großen Bestand zu sichern. Wieviele Fische kann ich ab dem 6. Jahr jährlich abfangen, so dass der Bestand im Teich vomm 5. Jahr an gleich bleibt? Für die Vermehrung der Fische wird exponentielles Wachstum angenommen, da der Teich groß genug für mehrere Tausend Fische ist.

7.) Ein Baum wächst jedes Jahr um 1 Meter. Nach 200 Jahren wäre er also 200 m hoch, nach 300 Jahren wäre er 300 m hoch. Dies wäre nur im Weltraum unter Schwerelosigkeit möglich. Die Natur begrenzt nämlich das Wachstum des Baumes (er muss seine Nährstoffe ja entgegen der Schwerkraft in immer größere Höhe pumpen).

Wir nehmen deswegen an, dass der Baum jedes Jahr um 1 Meter wächst, sein Wachstum aber von der Natur (und Schwerkraft) um 4 % gebremst wird.

a) Berechne das Wachstum des Baumes in den ersten 5 Jahren in einer Tabelle:

Jahr Höhe des Baumes

0 0 m

(Zwischenschritt: 1 m)

1 0,96 m

(Zwischenschritt: 1,96 m)

2 1,88 m

(Zwischenschritt: 2,88 m)

3 ....... m

(Zwischenschritt: ..... m)

4 ....... m

(Zwischenschritt: ..... m)

5 ........ m

Stelle eine allgemeine Formel für die Berechnung eines jeden nächsten Jahres auf (rekursive Formel)

b) Wie hoch wird der Baum höchstens. Warum gibt es diese Grenze, ab welcher der Baum nicht mehr höher wird?

c) Berechne die Höhe nach 10 Jahren mit der Summenformel.

8.) Ein elektrischer Heizofen erhöht seine Temperatur um 3 Grad pro Minute. Zu Beginn hat er Zimmertemperatur 20 Grad. Durch die Luft wird dem Heizofen jedoch 5 % seiner Wärme pro Minute wieder entzogen. Wie heiß wird der Ofen höchstens? Wie heiß ist er nach 15 Minuten?

9.) In einem Becken sind 1000 Liter Wasser. Täglich verdunsten 5 %. Über die Zuleitung werden jedoch täglich zum Ausgleich 40 Liter Frischwasser zugeführt.

- Welche Art von Wachstum liegt vor

- Wieviel Wasser ist nach 12 Tagen im Becken?

- Nach wieviel Tagen sind noch 900 Liter im Becken?

10.) In einen neu angelegten Teich werden 200 Fische eingesetzt. Man erwartet, dass ihre Anzahl in logistischen Wachstum zunimmt, da der See höchstens 8000 Fischen Lebensraum bietet.

a) B(n) sei die Anzahl der Fische im Teich nach n Jahren. Im ersten Jahr nimmt die Zahl der Fische um 30 % zu. Wie groß ist die Anzahl der Fische nach 3 Jahren?

b) In einem Teich sind 1000 Fische. Wie viele Fische kann man fangen, ohne dass der Bestand zurückgeht?